Discussion:Borne supérieure et borne inférieure

Confusion courante

Un ensemble borné non vide a forcément une borne supérieure, car il admet un majorant donc il existe un minimum dans ces majorants : la borne supérieure. je pense donc que la phrase "Une partie, même majorée, d'un ensemble ordonné ne possède pas nécessairement une borne supérieure ou inférieure." est erronée (sauf bien sûr s il est vide).

Merci donner suite à cette remarque. D.F.

L'article fournit le contre-exemple le plus celèbre à cette idée fausse : le plus petit des majorants n'existe pas toujours. Posséder la propriété de la borne supérieure est une qualité rare possédée par l'ensemble des réels. Mais il suffit par exemple de travailler sur $\mathbb {R} *$ pour que la propriété ne soit plus valable. Dans $\mathbb {R} *$, l'ensemble [-3 ; 0[ est non vide et borné et ne possède pas de borne supérieure. HB 29 novembre 2006 à 19:50 (CET)

Définition - deuxième point

Le deuxième point dans la définition n'a pas de sens : un scalaire et un ensemble sont dits égaux ?

merci. Il s'agit d'une ajout du 2 mai 2008 qui fut incomplètement annulé. Erreur réparée. HB (d) 15 juin 2008 à 18:56 (CEST)

Utilité ?

Dans la démonstration (bandeau déroulant), quelle est l'utilité de la multiplication par $n^{2}$ (entre les deux $\iff$) ?

$a^{2}+{\frac {2a}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}<2\iff n^{2}a^{2}+2an+1<2n^{2}\iff {\frac {2a}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}<2-a^{2}$

Zandr4 (d) 6 septembre 2008 à 21:49 (CEST)

aucune => à supprimer. Merci. HB (d) 6 septembre 2008 à 23:01 (CEST)

Mais je me demande si on ne peut pas trouver une démonstration plus claire....HB (d) 6 septembre 2008 à 23:08 (CEST)

sup de sups = sup

Hélas je n'ai pas de refs (ce qui vaudrait mieux qu'un TI ) Anne 29/11/10 à 12h13

Hélas, personne semble-t-il n'a jugé bon d'énoncer cette propriété... est-t-elle alors encyclopédique ? Il est intéressant de noter que si le sup des sups existe c'est bien le sup de l'union, mais que si le sup de l'union existe, ce n'est pas nécessairement le sup des sups (qui peut ne pas exister). En revanche, mes recherches m'ont fait découvrir un synonyme que j'ignorais : supremum et l'existence d'un article infimum qui me semble faire doublon avec borne. HB (d) 29 novembre 2010 à 15:47 (CET)

ça doit quand même bien être écrit qq part, mais bontampipourlinstan. Faudrait fusionner, non ? Ta remarque est intéressante mais j'étais dans ${\overline {\mathbb {R} }}$ : je voulais juste tripoter des séries doubles à termes positifs dans Série des inverses des nombres premiers (voire même Produit eulérien), sans invoquer Fubini, et même quand le sup est infini. Anne 29/11/10 à 21h35

Mon pb persiste : j'ai voulu alléger ici mais je n'arrive pas à rédiger ça de façon claire et concise, faute de lien interne vers ce principe général d'interversion des sups. Anne 21/4/15 20h10

Est-ce ce genre de chose que tu cherches? HB (discuter) 21 avril 2015 à 22:34 (CEST)

Oui, merci ! Je peux donc créer un § Associativité comme dans Famille sommable. Je cherchais aussi une réf plus orientée analyse (hier c'était pour une interversion somme et limite dans une série de fonctions monotones), mais on peut s'en passer. Anne 22/4/15 8h06

La définition des bornes est fausse

Plus exactement la phrase suivante est fausse: La 'borne supérieure' d'un ensemble de nombres réels est le plus petit des majorants. du fait qu'un majorant appartient toujours à l'ensemble pour lequel il est majorant. Tandis que pour la borne ce n'est pas toujours le cas. Dites-moi si vous consentez à cette remarque. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Kojemiaka (discuter), le 11 novembre 2011 à 21:17‎.

Non, un majorant n'appartient pas toujours à l'ensemble qu'il majore. Anne Bauval (d) 11 novembre 2011 à 22:14 (CET)

D'accord. En fait, dans ma remarque je me suis basé sur l'article majorant qui, apparemment, contenait une faute et qui, on peut le voir, est déjà modifié par vous. --Kojemiaka (d) 12 novembre 2011 à 19:24 (CET)

Il ne contenait aucune faute et je n'y ai fait qu'un peu de mise en forme typographique. Anne Bauval (d) 12 novembre 2011 à 21:01 (CET)

Fusion de Infimum dans Borne (mathématiques)

Discussion transférée le 30/11/2011 depuis Wikipédia:Pages à fusionner

Le premier, traduit de l'anglais, était un doublon, passé inaperçu car non portaillé. Le 2^e est plus complet. Anne Bauval (d) 20 novembre 2011 à 16:49 (CET)

Informations sur les historiques

↳ Infimum (h · j · ↵) : 15 révisions sur 3 ans
↳ Borne (mathématiques) (h · j · ↵) : 110 révisions sur 8 ans
La fusion des 2 historiques entraînera 16 changements d'articles (13%) sur 125 révisions (2 ignorées).
Méthode suggérée pour respecter la licence (en cas de transfert de contenu) : utiliser {{Crédit d'auteurs|interne|titre de la source}} sur l'article et optionnellement {{auteurs crédités après fusion}} sur la page de discussion.

Je suis légèrement réticent. La notion de borne serait-elle si creuse que l'article en question doive immédiatement verser dans la notion de borne supérieure ou inférieure ? Ne faudrait-il pas plutôt développer la notion de borne pour une fonction ou une suite, poser le problème d'un encadrement autour d'une valeur inconnue, notamment dans le cadre d'une approximation comme celle de pi, évoquer le rôle d'une minoration ou d'une majoration dans une conjecture ? J'aurais tendance à pousser en faveur d'un article généraliste « Borne (mathématiques) » et d'un article spécifique « Bornes inférieure et supérieure » ou « Borne inférieure et borne supérieure ». Ambigraphe, le 21 novembre 2011 à 21:47 (CET)

Tu soulèves un problème différent : celui du titre de l'article « Borne (mathématiques) » qui, vu son contenu actuel, devrait effectivement être renommé « Borne inférieure et borne supérieure » avant (ou après) cette fusion. « Borne (mathématiques) » serait alors automatiquement redirigé vers lui en attendant qu'une bonne âme le développe. Anne Bauval (d) 21 novembre 2011 à 23:01 (CET)

Tu as raison. Je me rends compte que l'introduction de cet article sur la notion de borne en mathématiques est de moi. Le contenu de l'article avant que j'y touche ne concernait que la notion de borne supérieure. J'aurais dû à l'époque procéder au renommage et reporter mon introduction sur un article vide. Est-ce qu'il vaut mieux faire la fusion avant le renommage ou le contraire ? Ambigraphe, le 22 novembre 2011 à 22:45 (CET)

Bon, je fusionnerai ce soir, en renommant - par exemple - après. Anne Bauval (d) 29 novembre 2011 à 14:23 (CET)

Définition alternative

Jusqu'à cette modification existait la définition alternative suivante de la borne sup :

M=Sup(F) si $\forall y\in E,\qquad \left[M\leq y\Leftrightarrow (\forall x\in F,~x\leq y)~\right].$

La modification de Noix07, insistant sur la justification de la réciproque à 2., a du coup fait perdre l'idée que cette simple (?) assertion en remplaçait deux et qu'il ne s'agissait pas d'une simple conséquence de 1. et 2. mais une équivalence à 1. et 2. C'est la raison de mon retour arrière. Mais cette définition alternative, donnée sans référence et sans explication a-t-elle bien lieu d'être ? Le fait que Noix07 a jugé nécessaire de présenter une clarification semble dire qu'elle obscurcit plus le discours qu'elle ne l'éclaire, surtout lorsqu'elle est suivie d'une remarque concernant le cas d'un majorant appartenant à F qui fait à nouveau référence au point 2.

Il me semble que dire que la borne supérieure est le plus petit des majorants est la définition la plus simple. Sa traduction mathématique conduit naturellement aux deux points 1. et 2. mais la définition alternative fait perdre cette idée simple et introduit une définition par la réalisation d'une équivalence. A-t-on des exemples où cette définition serait utilisée dans des ouvrages mathématiques ? Sinon, elle est à mon avis dispensable.

Si on doit la conserver, il serait judicieux de présenter autrement la remarque entre parenthèse (Remarquons que si M appartient à F, le point 2 ci-dessus – c'est-à-dire le sens ⇐ de l'équivalence – est automatiquement vérifié.) HB (discuter) 21 janvier 2015 à 08:03 (CET)

C'est moi qui avais mis ça (le 1/12/2011). Je suis d'accord que voir cette équivalence comme une définition alternative n'est probablement pas sourçable car pas utile. Les deux sens de l'équivalence, vus comme conséquences de la définition usuelle, sont par contre souvent (non conjointement) très utiles, c'est pourquoi j'avais voulu insister sur elle. Mais comment légitimer sa présence dans le § Définition en passant sous silence que c'est une définition ? et sinon, où la placer (de façon très visible) ? Anne 21/1/15 9h48

Si le deux sens de l'équivalence sont conjointement utiles, quand on sait que M=Sup(f). Il est peut-être inutile d'en faire une définition alternative . On pourrait présenter les deux remarques (la réciproque et la remarque entre parenthèse) sur le même plan, par exemple ainsi (ce qui permet en outre de remettre la clarification de Noix07) :

Remarques

• Si M=sup(F), la réciproque du point 2 est également vraie (par transitivité de ≤ et en utilisant le point 1.) : $\forall y\in E,\,\left[M\leq y\Rightarrow (\forall x\in F,~x\leq y)~\right].$ ou bien une version moins formelle : pour tout y de E, si M ≤ y, alors y est un majorant de F (c'est-à-dire pour tout x de F, x ≤ y)
• Si M est un majorant de F appartenant à F, le point 2. est automatiquement vérifié et M=sup(F).

Qu'en penses-tu ? HB (discuter) 21 janvier 2015 à 10:15 (CET)

« Les deux sens de l'équivalence, vus comme conséquences de la définition usuelle, » (i.e. « quand on sait que M=Sup(f) ») sont plus souvent utiles non conjointement et je voudrais les expliciter tous les deux et de façon plus opératoire (sans oser écrire « lorsqu'on a à montrer que …, il suffit de montrer que … »). Quant à la remarque déjà présente dans ce § de l'article, elle est détaillée plus loin. Quid de ceci ?

Remarques

• Le lien entre la notion de borne supérieure et celle de plus grand élément (cf. début du § « Exemples » ci-dessous) est dû au fait que si M appartient à F, le point 2 ci-dessus est automatiquement vérifié.
• Si M = sup(F) alors, pour un élément donné y de E :
  • le point 2. se réécrit :pour que y ≥ M, il suffit que y majore chaque élément de F ;
  • d'après le point 1. et par transitivité de ≤, la réciproque est vraie : si y ≥ M, alors y majore chaque élément de F, ou encore (par contraposée) :pour que y ne soit pas minoré par M, il suffit qu'il existe dans F un élément non majoré par y.

Anne, 19h54

Ta proposition me convient aussi (et pardon d'avoir oublié le non devant conjointement). HB (discuter) 22 janvier 2015 à 15:27 (CET)

Confusion

"Lorsque E=ℝ (muni de l'ordre usuel), on peut de plus remplacer « pour tout y < M » par « pour tout y de la forme M–ε avec ε>0 ». Un réel M est donc la borne supérieure d'une partie F de ℝ si et seulement si :

pour tout x de F, x ≤ M, et pour tout réel ε>0, il existe dans F au moins un x > M–ε."

Si F = {1, 2, 3}, ou plus général F est une partie finie de ℝ, cette définition pose-t-elle un problème? Nhamnhivd (discuter) 9 avril 2016 à 11:39

Non. Anne, 12 h 07

J'allais le dire ! Ramzan (discuter) 9 avril 2016 à 12:09 (CEST)

Propriété de la borne supérieure

Bonjour. Quelqu'un pourrait-il ajouter à ce paragraphe si l'ensemble Q des rationnels a ou n'a pas cette propriété, et, si non, ajouter une explication? D'avance merci. --Hpa (discuter) 8 mai 2018 à 22:35 (CEST)

C'est déjà (en gras) dans le paragraphe que tu mentionnes. Anne, 9/5 à 11 h 37. P.S. Je ne le fais pas moi-même mais tu pourrais supprimer cette section de cette page de discussion